Uma gravação em uma ponte inspirou uma nova forma de representar informações em matemática, utilizando números complexos e geometria esférica para descrever rotações bidimensionais no espaço matemático 4D.
Em 16 de outubro de 1843, o matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865) teve uma epifania durante uma caminhada ao longo do Royal Canal de Dublin, na Irlanda. Ele estava tão absorvido em seus pensamentos sobre a matemática que não percebeu o tempo passando. Sua mente estava focada em resolver um problema que o vinha intrigando há muito tempo.
Hamilton estava trabalhando em uma teoria que combinava a álgebra e a geometria para criar uma nova forma de entender a matemática. Ele estava tão empolgado com sua descoberta que pegou seu canivete e gravou sua fórmula na Broome Bridge. Essa fórmula, conhecida como os quatérnions, revolucionou a forma como os matemáticos entendiam a matemática e teve um impacto profundo na física e na engenharia. A descoberta de Hamilton foi um marco importante na história da matemática.
A Revelação de Hamilton: Uma Nova Abordagem à Matemática
A famosa equação i² = j² = k² = ijk = –1 pode parecer simples, mas sua revelação mudou a forma como os matemáticos representam informações. Essa descoberta de Hamilton simplificou inúmeras aplicações técnicas, desde o cálculo de forças em pontes e máquinas de ressonância magnética até a programação de mecanismos de busca e a orientação de veículos espaciais em Marte. Mas o que significa essa equação?
A matemática por trás da revelação de Hamilton está relacionada à representação de direções no espaço tridimensional. A direção é fundamental na descrição de forças e velocidades, e Hamilton estava interessado em rotações em 3D. Os matemáticos já sabiam como representar a posição de um objeto com coordenadas x, y e z, mas descobrir o que acontecia com essas coordenadas quando você girava o objeto exigia uma geometria esférica complicada. Hamilton queria um método mais simples.
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Ele foi inspirado por uma maneira notável de representar rotações bidimensionais usando números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária. A parte imaginária é um múltiplo do número i, definido pela equação i² = -1. No início do século XIX, matemáticos como Jean Argand e John Warren descobriram que um número complexo pode ser representado por um ponto em um plano. Warren também demonstrou que era simples girar uma linha em 90° nesse plano complexo.
Hamilton ficou impressionado com essa conexão entre números complexos e geometria e começou a tentar fazer isso em três dimensões. Ele imaginou um plano complexo com um segundo eixo imaginário na direção de um segundo número imaginário j, perpendicular aos outros dois eixos. Foram necessários muitos meses árduos para que ele percebesse que precisaria de números complexos quadridimensionais, com um terceiro número imaginário, k, para estender a magia rotacional 2D da multiplicação por i.
Quaterniões e Vetores: A Nova Abordagem de Hamilton
Nesse espaço matemático 4D, o eixo k seria perpendicular aos outros três. Além de k ser definido por k² = -1, sua definição também precisava de k = ij = -ji. (A combinação dessas duas equações para k resulta em ijk = -1). Juntando tudo isso, obtém-se i² = j² = k² = ijk = -1, a revelação que atingiu Hamilton como um raio na Ponte Broome.
Hamilton chamou seus números 4D de quaterniões e os usou para calcular rotações geométricas no espaço 3D. Esse é o tipo de rotação usado atualmente para mover um robô ou orientar um satélite. Mas a maior parte da magia prática surge quando se considera apenas a parte imaginária de um quaternião. Isso é o que Hamilton chamou de vetores.
A álgebra e a geometria são fundamentais para a compreensão dos quaterniões e vetores. A álgebra fornece as ferramentas para manipular os números complexos e os quaterniões, enquanto a geometria fornece a estrutura para entender as relações entre os objetos no espaço. O cálculo também é essencial para a compreensão das rotações e transformações no espaço.
A revelação de Hamilton abriu caminho para uma nova abordagem à matemática, que combina a álgebra, a geometria e o cálculo para resolver problemas complexos. Essa abordagem tem sido fundamental para o desenvolvimento de muitas áreas da ciência e da tecnologia, desde a física e a engenharia até a computação e a inteligência artificial.
Fonte: © G1 – Globo Mundo
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